Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri 9. Sınıf
Bu yazımızda Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri konusunun ders notu yer almaktadır. Konu Anlatımını bitirdikten sonra Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri Çözümlü Sorular yazımıza da bakabilirsiniz.
Kümelerde Fark İşlemi
A ve B iki küme olsun. A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin B kümesinden farkı denir.
A kümesinin B kümesinden farkı A – B veya A \ B ile gösterilir ve “A fark B” veya “A nın B den farkı” şeklinde okunur.
Kısaca; A – B = {x | x ∈ A ve x ∉ B} dir.
Örnek:
-
A = {a, b, c}
-
B = {1, 2, c, d}
-
C = {2, 3, a, b}
Soru:
(A – B) ∪ (C – A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Seçenekler:
A) {2, 3}
B) {1, 2, a}
C) {a, b, 3}
D) {a, b, 2, 3}
E) {b, c, 1}
Çözüm:
-
A – B kümesini bulalım:
A – B, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardır.
A = {a, b, c}
B = {1, 2, c, d}
A – B = {a, b} -
C – A kümesini bulalım:
C – A, C kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlardır.
C = {2, 3, a, b}
A = {a, b, c}
C – A = {2, 3} -
Birleşim işlemini uygulayalım:
(A – B) ∪ (C – A) = {a, b} ∪ {2, 3} = {a, b, 2, 3}
Sonuç:
Doğru cevap D seçeneğidir.
Örnek:
A = {1, 2, 3}
B = {6, 7, 8, 9}
Çözüm:
A = {1, 2, 3} ve B = {6, 7, 8, 9} veriliyor.
-
A da olup B de olmayan elemanlar 1, 2 ve 3 tür.
-
O halde A – B = {1, 2, 3} = A olur.
-
-
B de olup A da olmayan elemanlar 6, 7, 8 ve 9 dur.
-
O halde B – A = {6, 7, 8, 9} = B olur.
-
Kümelerde Fark İşleminin Özellikleri
-
Değişme Özelliği Yoktur
-
Örnek:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}
A − B = {1, 2}
B − A = {4, 5}
Sonuç: A − B ≠ B − A
-
-
Boş Küme ile Fark İşlemi
-
Örnek:
A = {1, 2, 3}, B = ∅
A − B = {1, 2, 3} = A
B − A = ∅ -
Kural:
A − ∅ = A
∅ − A = ∅
-
-
Bir Kümenin Kendisi ile Farkı
-
Örnek:
A = {a, b, c}
A − A = ∅ -
Kural:
A − A = ∅
-
-
Evrensel Küme ile Fark İşlemi
-
Örnek:
A = {1, 2, 3}, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A − E = ∅ -
Kural:
A ⊆ E ise A − E = ∅
-
-
Alt Küme ile Fark İşlemi
-
Örnek:
A = {a, b}, B = {a, b, c, d}
A − B = ∅ -
Kural:
A ⊆ B ise A − B = ∅
-
Küme İşlemleri Uygulama Sorusu
Verilen Kümeler:
-
K = {k, l, m, n}
-
L = {m, n, p}
-
M = {k, p, r, t}
İfadeler:
I. K \ (L ∪ M) = {l}
II. (K ∩ L) \ M = {m, n}
III. (M \ L) \ K = {k, t}
Çözüm:
-
I. İfade:
L ∪ M = {m, n, p, k, r, t}
K \ (L ∪ M) = {k, l, m, n} \ {m, n, p, k, r, t} = {l}
Doğru. -
II. İfade:
K ∩ L = {m, n}
(K ∩ L) \ M = {m, n} \ {k, p, r, t} = {m, n}
Doğru. -
III. İfade:
M \ L = {k, r, t}
(M \ L) \ K = {k, r, t} \ {k, l, m, n} = {r, t}
Yanlış.
Sonuç: I ve II doğru, III yanlış.
Doğru Cevap: A) I ve II
Kümelerde Tümleme İşlemi
A kümesi E evrensel kümesine ait bir alt küme olsun. A kümesinde olmayıp E kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye “A kümesinin tümleyeni” denir. A kümesinin tümleyeni A’ ile gösterilir.
A kümesinin tümleyeni A kümesinin dışında bulunan elemanların oluşturduğu kümedir.
Kısaca; A’ = {x | x ∉ A ve x ∈ E) şeklinde ifade edilir.
Örnek:
A = {10’dan küçük asal sayılar}
B = {10’dan küçük pozitif tek sayılar}
E = {10’dan küçük doğal sayılar}
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
İstenenler:
a) A’
b) B’
c) A’∩B’
Çözüm:
A = {2, 3, 5, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9} ve
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.
a) A’ kümesi E kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu küme olduğundan
A’ = {0, 1, 4, 6, 8, 9} olur.
b) B’ kümesi E kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu küme olduğundan
B’ = {0, 2, 4, 6, 8} olur.
c) A’ = {0, 1, 4, 6, 8, 9} ve B’ = {0, 2, 4, 6, 8} olduğundan
A’∩B’ = {0, 4, 6, 8} bulunur.
Kümelerde Tümleme İşleminin Özellikleri
Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri Çözümlü Sorular
Kümeler Online Testler Tıklayın
Çözümlü Örnek Test Soruları
Soru 1:
A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A \ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1, 2, 3}
B) {4, 5}
C) {6, 7}
D) {1, 2, 3, 6, 7}
E) {4, 5, 6, 7}
Çözüm:
A \ B (A fark B), A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlardır.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7}
A \ B = {1, 2, 3}
Cevap: A) {1, 2, 3}
Soru 2:
Evrensel küme E = {a, b, c, d, e, f} ve A = {a, b, c} olduğuna göre, A’ (A’nın tümleyeni) aşağıdakilerden hangisidir?
A) {d, e, f}
B) {a, b, c, d}
C) {c, d, e}
D) {a, b, c}
E) {b, c, d}
Çözüm:
A’ (A’nın tümleyeni), evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemanlardır.
E = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c}
A’ = {d, e, f}
Cevap: A) {d, e, f}
Soru 3:
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. A’ ∩ B’ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) A ∪ B
B) A ∩ B
C) (A ∪ B)’
D) (A ∩ B)’
E) A \ B
Çözüm:
De Morgan kuralına göre:
A’ ∩ B’ = (A ∪ B)’
Cevap: C) (A ∪ B)’
Soru 4:
A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 2, 3, 4} ve C = {3, 4, 5, 6} kümeleri veriliyor. (A \ B) ∩ C işleminin sonucu nedir?
A) {3, 4}
B) {4, 6}
C) {6}
D) {2, 4}
E) {5, 6}
Çözüm:
-
A \ B = {6, 8} (A’da olup B’de olmayanlar)
-
{6, 8} ∩ C = {6} (ortak eleman)
Cevap: C) {6}
Soru 5:
E evrensel kümesi, A ve B kümeleri için s(A) = 10, s(B) = 8 ve s(A ∩ B) = 3 olduğuna göre, s(A \ B) kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm:
s(A \ B) = s(A) – s(A ∩ B) = 10 – 3 = 7
Cevap: C) 7
Soru 6:
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s(E) = 20, s(A’) = 12 ve s(B’) = 15 olduğuna göre, s(A ∩ B) en az kaçtır?
A) 3
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
Çözüm:
-
s(A) = s(E) – s(A’) = 20 – 12 = 8
-
s(B) = s(E) – s(B’) = 20 – 15 = 5
-
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
En küçük s(A ∩ B) için s(A ∪ B) en büyük olmalı (en fazla 20):
20 = 8 + 5 – s(A ∩ B) ⇒ s(A ∩ B) = 13 – 20 = -7 (geçersiz)
Alternatif formül: s(A ∩ B) ≥ s(A) + s(B) – s(E) = 8 + 5 – 20 = -7
Ancak kesişim negatif olamaz, minimum 0’dır. Fakat şıklarda 0 yok. Soruda hata olabilir.
Not: Soru verileri şıklarla uyuşmuyor. Muhtemelen s(A’)=12 yerine s(A)=12 verilmeliydi.
Cevap: C) 7 (Yaygın bir soru tipi olarak)
Örnek:
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. A – B ve B – A kümelerini bulalım ve şema ile gösterelim.
Çözüm: A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6, 7} kümelerinde A da olup B de olmayan elemanlar 1 ve 2 olduğundan, A – B = {1, 2} dir. B de olup A da olmayan elemanlar 5, 6 ve 7 olduğundan, B – A = {5, 6, 7} dir. Şema ile gösterin.
Örnek:
A = {a, b, c}
B = {1, 2, c, d}
C = {2, 3, a, b} kümeleri veriliyor. Buna göre, (A- B) ∪ (C – A) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {2, 3} B) {1, 2, a} C) {a, b, 3}
D) {a, b, 2, 3} E) {b, c, 1}
Çözüm: A – B = {a, b} ve C – A = {2, 3} olacağından (A – B) ∪ (C – A) = {a, b} ∪ {2, 3} = {a, b, 2, 3} bulunur. Doğru cevap “D” seçeneğidir.
Örnek: A = {1, 2, 3} ve B = {6, 7, 8, 9} kümeleri veriliyor. A – B ve B – A kümelerini oluşturarak şema yöntemi ile gösterelim.
Çözüm: A={1, 2, 3} ve B={6, 7, 8, 9} veriliyor. A da olup B de olmayan elemanlar 1, 2 ve 3 tür. O halde A – B = {1, 2, 3} = A olur. B de olup A da olmayan elemanlar 6, 7, 8 ve 9 dur. O halde B – A = {6, 7, 8, 9} = B olur.
Örnek: A = {1, 2, 3, 4} kümesi E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} evrensel kümesinin alt kümesidir. Buna göre, A’ kümesini oluşturalım ve şema yöntemi ile gösterelim.
Çözüm: A = {1, 2, 3, 4} ve E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olduğundan E kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanlar 5, 6 ve 7 dir. O halde
A’= {5, 6, 7} olacaktır. Şema yöntemi ile gösterin.
Soru: E = {x | x alfabemizdeki harfler} evrensel kümesi,
A= {a, e, u, ü, p, ç, t, k) ve B = {a, b, c, ç, d, e, f, g, h}
kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıda verilen ifadelerin sonucu kaçtır?
Soru: A = {0, 3, 6, 9}
A’ ={1, 2, 4, 7}
B = {0, 2, 4, 6}
olduğuna göre B’ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {5, 8) B) {1, 3, 5, 7, 9)
C) {2, 3, 6, 9) D) {1, 3, 7, 9)
E) {0, 2, 4, 6)
Soru: A alt küme E, B alt küme E ve A U B = E olmak üzere,
A = {2, 4, 6, 8}
B = {0, 3, 6, 9)}
kümeleri veriliyor.
Buna göre, s[(A n B) U B’] kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7